Đặt K là một trường và đặt A là không gian vectơ trên K được trang bị một phép toán hai ngôi A × A đến A, ký hiệu là · (nghĩa là nếu x và y là hai phần tử bất kỳ của A, x · y là tích của x và y). Thế thì A là một đại số trên K nếu các đẳng thức sau đúng cho tất cả các phần tử x, y và z của A và tất cả các phần tử (thường được gọi là vô hướng) a và b của K:

• Phân phối phải: (x + y) · z = x · z + y · z
• Phân phối trái: z · (x + y) = z · x + z · y
• Tương thích với nhân vô hướng: (a x) · (b y) = (ab) (x · y).

Ba tiên đề này là một cách khác để nói rằng phép toán hai ngôi là song tuyến tính. Đại số trên K cũng được gọi là K-đại số.

Ví dụ

Ta có R {\displaystyle \mathbb {R} } -đại số C {\displaystyle \mathbb {C} } , R {\displaystyle \mathbb {R} } đại số các quaternion H {\displaystyle \mathbb {H} } , R {\displaystyle \mathbb {R} } -đại số các octonion O {\displaystyle \mathbb {O} } , R {\displaystyle \mathbb {R} } -đại số các ma trận M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )} .

Với k {\displaystyle k} là một trường bất kì, ta cũng có k {\displaystyle k} -đại số các ma trận M n ( k ) {\displaystyle M_{n}(k)} .